Les fonctions affines
Comment décrire un prix qui comporte une partie fixe et une partie variable ?
Ce que tu vas savoir faire
- Calculer une image et déterminer un antécédent.
- Interpréter et représenter une fonction affine.
À connaître déjà : Calcul littéral, équations du premier degré et repérage dans le plan.
1Une formule qui associe deux nombres
Une fonction associe à chaque nombre de son domaine une seule image. Pour une fonction affine, la formule est f(x) = ax + b, où a et b sont fixes. Le nombre x est l’entrée ; f(x) est le résultat du calcul.
Calculer une image consiste à remplacer x par la valeur donnée. Chercher un antécédent d’un nombre y consiste à résoudre ax + b = y. Le sens de la question change donc la démarche.
Image de u : f(u) = au + b. Antécédent de y : résoudre ax + b = y.
2Comprendre a et b
Le nombre b vaut f(0) : c’est l’ordonnée à l’origine. Le coefficient a indique de combien varie l’image lorsque x augmente de 1. Si a est positif, la fonction est croissante ; s’il est négatif, elle est décroissante.
Si a = 0, la fonction est constante. Si b = 0, elle est linéaire et décrit une proportionnalité. Une fonction affine avec une partie fixe non nulle ne traduit pas une proportionnalité, même si sa représentation est une droite.
3Construire et exploiter la droite
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Deux points distincts suffisent pour la tracer : choisis deux valeurs de x, calcule leurs images et place les points de coordonnées (x ; f(x)).
Pour lire une image, pars de l’abscisse et rejoins la droite ; pour lire un antécédent, pars de l’ordonnée. Une lecture graphique est souvent approchée. Pour une valeur exacte, reviens à la formule et résous l’équation.
Suivre le raisonnement
Image et antécédent
Pour f(x) = −2x + 7, calcule f(3) puis trouve l’antécédent de 5.
- Image : f(3) = −2 × 3 + 7 = 1.
- Antécédent : −2x + 7 = 5, donc −2x = −2 et x = 1.
- Vérification : f(1) = −2 + 7 = 5.
Conclusion : L’image de 3 est 1 ; l’antécédent de 5 est 1.
Comparer deux tarifs
Un tarif A coûte 4 € par heure. Un tarif B coûte 6 € fixes puis 2 € par heure. Quand sont-ils égaux ?
- On note x la durée : A(x) = 4x et B(x) = 2x + 6.
- 4x = 2x + 6 donne 2x = 6, donc x = 3.
- Pour 3 h, chaque tarif vaut 12 €.
Conclusion : Les tarifs sont égaux pour une durée de 3 heures.
À toi de rédiger
Prends une feuille, écris tes étapes, puis compare avec la correction. Ces exercices se corrigent avec la solution ; le quiz en dessous permet d’enregistrer ton résultat.
Pour g(x) = 3x − 4, calcule g(−2) et trouve l’antécédent de 11.
Donne deux points pour tracer h(x) = −x + 2. Cette fonction est-elle linéaire ?
Avant de passer au quiz
- Image : remplacer x. Antécédent : résoudre une équation.
- b = f(0) ; a décrit la variation pour une unité de x.
- Deux points distincts permettent de tracer la droite.
Un pas de plus pour comprendre.
Question 1 sur 1