Utiliser le théorème de Thalès
Comment calculer une longueur quand deux triangles ont des côtés parallèles ?
Ce que tu vas savoir faire
- Calculer des longueurs dans une configuration de Thalès.
- Vérifier le parallélisme avec la réciproque dans une configuration emboîtée.
À connaître déjà : Proportionnalité, fractions et produits en croix.
1Vérifier les hypothèses
Dans la configuration emboîtée étudiée ici, M est sur le segment [AB] et N sur [AC]. Si (MN) et (BC) sont parallèles, les triangles AMN et ABC ont des côtés correspondants proportionnels.
Écris les alignements et le parallélisme avant les rapports. L’ordre des lettres n’est pas décoratif : AM correspond à AB, AN à AC et MN à BC. Le théorème existe aussi dans une configuration en papillon, où il faut repérer soigneusement les correspondances.
Si M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) ∥ (BC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.
2Choisir les rapports utiles
Pour calculer une inconnue, sélectionne deux rapports dont tu connais trois longueurs. Résous l’égalité par proportionnalité ou produit en croix. Toutes les longueurs doivent être exprimées dans une même unité.
Si AM/AB = 2/3, le petit triangle est une réduction de coefficient 2/3. Chaque côté du petit mesure deux tiers du côté correspondant du grand. Le résultat doit respecter cet ordre de grandeur.
3Utiliser la réciproque
Pour démontrer un parallélisme, vérifie les alignements et l’ordre des points, puis compare AM/AB et AN/AC. Dans la configuration où M ∈ [AB] et N ∈ [AC], l’égalité de ces rapports permet de conclure que (MN) et (BC) sont parallèles.
Privilégie les fractions exactes ou les produits en croix. Deux valeurs arrondies égales ne prouvent pas que les rapports exacts sont égaux. Si les rapports sont différents dans cette configuration, les droites ne sont pas parallèles.
Suivre le raisonnement
Une longueur inaccessible
M ∈ [AB], N ∈ [AC], (MN) ∥ (BC), AM = 4 cm, AB = 10 cm et AC = 15 cm. Calcule AN.
- D’après Thalès, AM/AB = AN/AC.
- 4/10 = AN/15, donc AN = 15 × 4 ÷ 10 = 6 cm.
- 6 < 15 : N peut bien se trouver sur [AC].
Conclusion : AN mesure 6 cm.
Démontrer un parallélisme
M ∈ [AB] et N ∈ [AC]. AM = 3, AB = 9, AN = 4 et AC = 12, en cm. Que peut-on conclure ?
- AM/AB = 3/9 = 1/3.
- AN/AC = 4/12 = 1/3. Les rapports sont égaux et les points sont dans l’ordre requis.
Conclusion : D’après la réciproque de Thalès, (MN) est parallèle à (BC).
À toi de rédiger
Prends une feuille, écris tes étapes, puis compare avec la correction. Ces exercices se corrigent avec la solution ; le quiz en dessous permet d’enregistrer ton résultat.
Dans la configuration du schéma, AM = 5 cm, AB = 8 cm, BC = 12 cm et (MN) ∥ (BC). Calcule MN.
M ∈ [AB], N ∈ [AC], AM = 4, AB = 6, AN = 5 et AC = 9, en cm. (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
Avant de passer au quiz
- Alignements et parallélisme précèdent les calculs.
- Garder le même ordre dans tous les rapports.
- Pour la réciproque, vérifier aussi la disposition des points.
Un pas de plus pour comprendre.
Question 1 sur 3