Conjecturer, démontrer et vérifier
Les maths apprennent à distinguer une intuition, un exemple et une preuve valable dans tous les cas.
Ce que tu vas savoir faire
- Distinguer exemple, conjecture et démonstration.
- Construire une implication simple.
- Réfuter une affirmation avec un contre-exemple.
À connaître déjà : Savoir utiliser des propriétés d’arithmétique et de géométrie.
1Observer puis conjecturer
Une conjecture naît souvent de calculs, d’une figure ou d’une régularité. Elle propose une règle générale qui reste à prouver. Tester plusieurs cas aide à la formuler avec précision.
Même une longue liste d’exemples favorables ne constitue pas toujours une preuve, car un cas encore non testé peut contredire la règle.
2Démontrer par un enchaînement
Une démonstration part des données et utilise des définitions ou des propriétés connues. Chaque phrase doit expliquer pourquoi la suivante est vraie.
Dans une implication « si A, alors B », A est l’hypothèse et B la conclusion. La réciproque échange leurs places ; elle peut être vraie ou fausse indépendamment de l’implication initiale.
Données + propriété → conclusion justifiée.
3Chercher un contre-exemple
Pour rendre fausse une affirmation qui prétend être vraie pour tous les objets, il suffit de trouver un objet qui respecte l’hypothèse mais pas la conclusion.
Un bon contre-exemple doit être vérifié explicitement. Il ne suffit pas de dire que l’affirmation semble fausse.
Suivre le raisonnement
Tester une affirmation
« Le carré d’un entier est toujours plus grand que cet entier. » Vrai ou faux ?
- Pour 2, le carré vaut 4, ce qui est plus grand. Mais un exemple favorable ne suffit pas.
- Testons 0 : 0² = 0, qui n’est pas strictement plus grand que 0.
- Le nombre 0 respecte l’hypothèse « être entier » mais contredit la conclusion.
Conclusion : L’affirmation est fausse ; 0 est un contre-exemple.
Prouver une parité
Montrer que la somme de deux nombres pairs est paire.
- Un nombre pair s’écrit 2k. Notons les deux nombres 2a et 2b.
- Leur somme vaut 2a + 2b = 2(a + b).
- Comme a + b est entier, la somme est le double d’un entier.
Conclusion : La somme de deux nombres pairs est paire.
À toi de rédiger
Prends une feuille, écris tes étapes, puis compare avec la correction. Ces exercices se corrigent avec la solution ; le quiz en dessous permet d’enregistrer ton résultat.
La somme de deux nombres impairs est-elle toujours paire ? Démontre-le.
Réfute : « Si un nombre est divisible par 2, alors il est divisible par 4. »
On sait qu’un quadrilatère a quatre angles droits. Que peut-on conclure ?
La réciproque de « si un entier est multiple de 6, alors il est multiple de 3 » est-elle vraie ?
Avant de passer au quiz
- Les exemples font naître une conjecture ; une preuve la valide.
- Une démonstration cite les données et les propriétés utilisées.
- Un seul contre-exemple peut réfuter une affirmation universelle.
Un pas de plus pour comprendre.
Question 1 sur 5