Le théorème de Pythagore
Comment calculer une longueur sans la mesurer directement ?
Ce que tu vas savoir faire
- Calculer un côté d’un triangle rectangle.
- Utiliser la réciproque pour reconnaître un triangle rectangle.
À connaître déjà : Calculer un carré et comprendre la racine carrée positive.
1Identifier la bonne configuration
Le théorème de Pythagore s’applique à un triangle rectangle. Son hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; c’est aussi son côté le plus long. Repère-la avant d’écrire une égalité.
Si ABC est rectangle en A, les côtés AB et AC forment l’angle droit et BC est l’hypoténuse. Les carrés concernent les longueurs : BC² signifie BC × BC, et non deux fois BC.
ABC rectangle en A ⇒ BC² = AB² + AC².
2Calculer une longueur inconnue
Pour trouver l’hypoténuse, additionne les carrés des deux autres longueurs. Pour trouver un côté de l’angle droit, soustrais le carré de l’autre côté au carré de l’hypoténuse. L’égalité de départ reste la même.
Le calcul donne d’abord le carré de la longueur recherchée. Il faut ensuite prendre sa racine carrée positive, puisqu’une longueur est positive. Garde la valeur exacte si nécessaire et arrondis seulement à la fin selon la précision demandée.
3Reconnaître un triangle rectangle
La réciproque permet de conclure dans l’autre sens. Si le carré du côté le plus long égale la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle, avec ce grand côté comme hypoténuse.
Calcule séparément les deux expressions pour les comparer. Si elles ne sont pas égales, le triangle n’est pas rectangle. Des mesures arrondies ne permettent pas toujours de démontrer une égalité exacte : utilise les données de l’énoncé.
Suivre le raisonnement
Chercher un côté de l’angle droit
ABC est rectangle en A. BC = 13 cm et AB = 5 cm. Calcule AC.
- D’après Pythagore, BC² = AB² + AC².
- AC² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
- AC = √144 = 12 cm. Cette longueur est bien inférieure à 13 cm.
Conclusion : AC mesure 12 cm.
Prouver qu’un triangle est rectangle
Un triangle a pour côtés 7 cm, 24 cm et 25 cm. Est-il rectangle ?
- Le plus grand côté mesure 25 cm ; son carré vaut 625.
- 7² + 24² = 49 + 576 = 625.
- Les deux résultats sont égaux : la réciproque de Pythagore s’applique.
Conclusion : Le triangle est rectangle, avec le côté de 25 cm pour hypoténuse.
À toi de rédiger
Prends une feuille, écris tes étapes, puis compare avec la correction. Ces exercices se corrigent avec la solution ; le quiz en dessous permet d’enregistrer ton résultat.
Un rectangle mesure 6 cm sur 8 cm. Calcule la longueur d’une diagonale.
Un triangle de côtés 4 cm, 6 cm et 7 cm est-il rectangle ?
Avant de passer au quiz
- Vérifier l’angle droit avant d’utiliser le théorème.
- Écrire d’abord l’égalité avec les noms des côtés.
- Après un calcul de carré, prendre la racine pour obtenir la longueur.
Un pas de plus pour comprendre.
Question 1 sur 1