Résoudre une équation produit nul
Quand le produit de deux nombres vaut zéro, que peut-on en déduire ?
Ce que tu vas savoir faire
- Résoudre une équation factorisée.
- Factoriser une expression simple pour obtenir un produit nul.
À connaître déjà : Équations du premier degré et distributivité.
1Pourquoi un facteur doit-il être nul ?
Le produit de deux nombres non nuls ne peut pas être nul. Si A × B = 0, au moins un facteur est donc nul. Réciproquement, si l’un des facteurs est zéro, leur produit vaut zéro.
On écrit « A = 0 ou B = 0 ». Le mot ou autorise qu’un seul facteur soit nul, ou que les deux le soient. On résout chaque équation séparément et on réunit les solutions sans doublons.
A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0.
2Partir d’une forme factorisée
Une écriture comme (2x − 3)(x + 4) = 0 est déjà prête. Développer compliquerait inutilement la recherche : on résout 2x − 3 = 0 puis x + 4 = 0.
La règle exige un produit égal à zéro. On ne peut pas l’appliquer directement à (x − 1)(x + 2) = 6. Une somme n’est pas un produit : x + 5 = 0 se résout comme une équation du premier degré.
3Faire apparaître un produit
Si l’équation n’est pas factorisée, regroupe tous les termes dans un membre pour avoir zéro dans l’autre. Cherche ensuite un facteur commun ou une identité remarquable connue.
Par exemple, x² − 5x = x(x − 5), tandis que x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Vérifie la factorisation en développant mentalement. Ne divise pas par x sans savoir s’il est nul : tu pourrais perdre une solution.
Suivre le raisonnement
Deux facteurs du premier degré
Résous (2x − 3)(x + 4) = 0.
- Le produit est nul si 2x − 3 = 0 ou x + 4 = 0.
- La première équation donne x = 3/2 ; la seconde donne x = −4.
- Chaque valeur annule bien un facteur dans l’équation initiale.
Conclusion : Les solutions sont 3/2 et −4.
Factoriser avant de résoudre
Résous x² = 5x.
- On soustrait 5x : x² − 5x = 0.
- On factorise : x(x − 5) = 0.
- Donc x = 0 ou x − 5 = 0.
Conclusion : Les solutions sont 0 et 5.
À toi de rédiger
Prends une feuille, écris tes étapes, puis compare avec la correction. Ces exercices se corrigent avec la solution ; le quiz en dessous permet d’enregistrer ton résultat.
Résous (3x + 6)(x − 7) = 0.
Résous x² − 16 = 0 en utilisant une identité remarquable.
Avant de passer au quiz
- Un produit nul impose au moins un facteur nul.
- Le membre opposé doit être égal à zéro.
- Factoriser permet parfois de révéler plusieurs solutions.
Un pas de plus pour comprendre.
Question 1 sur 3