Pythagore, réciproque et contraposée
Une diagonale, une pente ou une distance inaccessible peut être calculée, puis contrôlée sans mesure directe.
Ce que tu vas savoir faire
- Calculer une longueur dans un triangle rectangle.
- Prouver qu’un triangle est rectangle.
- Prouver qu’un triangle ne l’est pas.
À connaître déjà : Savoir calculer un carré, une racine carrée et identifier le plus grand côté.
1Calculer grâce au théorème
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et le plus long côté. Son carré est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Pour calculer l’hypoténuse, on additionne deux carrés. Pour calculer un côté de l’angle droit, on soustrait son carré à celui de l’hypoténuse. La racine carrée intervient à la fin.
Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
2Prouver avec la réciproque
Quand les trois longueurs sont connues, on commence par repérer le plus grand côté. On calcule séparément son carré et la somme des carrés des deux autres.
Si les deux résultats sont égaux, la réciproque du théorème de Pythagore permet de conclure que le triangle est rectangle, précisément à l’angle opposé au plus grand côté.
3Réfuter avec la contraposée
Si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle n’est pas rectangle. Une rédaction correcte montre les deux calculs avant de les comparer.
Un schéma aide à comprendre, mais il ne constitue pas une preuve. Les longueurs et la propriété donnent la conclusion.
Suivre le raisonnement
Une hauteur inaccessible
Une échelle de 6,5 m touche un mur. Son pied est à 2,5 m du mur. À quelle hauteur arrive-t-elle ?
- Le mur et le sol sont perpendiculaires : le triangle est rectangle. L’échelle est l’hypoténuse.
- h² = 6,5² − 2,5² = 42,25 − 6,25 = 36.
- h = √36 = 6.
Conclusion : L’échelle atteint une hauteur de 6 m.
Contrôler un angle droit
Un triangle a pour côtés 9 cm, 12 cm et 15 cm. Est-il rectangle ?
- Le plus grand côté mesure 15 cm.
- 15² = 225. D’autre part, 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
- Les deux résultats sont égaux : la réciproque s’applique.
Conclusion : Le triangle est rectangle, avec 15 cm pour hypoténuse.
À toi de rédiger
Prends une feuille, écris tes étapes, puis compare avec la correction. Ces exercices se corrigent avec la solution ; le quiz en dessous permet d’enregistrer ton résultat.
Un rectangle mesure 8 cm sur 15 cm. Calcule la longueur de sa diagonale.
Un triangle a pour côtés 10 cm, 24 cm et 26 cm. Prouve qu’il est rectangle.
Un triangle a pour côtés 5 cm, 7 cm et 9 cm. Est-il rectangle ?
Une rampe de 4,25 m franchit une hauteur de 1 m. Quelle distance horizontale couvre-t-elle ?
Avant de passer au quiz
- Identifier l’hypoténuse avant d’écrire l’égalité.
- Théorème pour calculer ; réciproque ou contraposée pour prouver.
- Comparer les carrés avant de conclure.
Un pas de plus pour comprendre.
Question 1 sur 5