Les puissances de dix
Pourquoi les scientifiques écrivent-ils de très grands nombres avec des exposants ?
Ce que tu vas savoir faire
- Calculer avec les puissances de dix.
- Écrire un nombre positif en notation scientifique.
À connaître déjà : Comprendre multiplication, division et nombres décimaux.
1Exposants positifs, nuls et négatifs
Pour n entier strictement positif, 10ⁿ est le produit de n facteurs égaux à 10. L’exposant compte les facteurs, pas une multiplication par n. On définit 10⁰ = 1.
Un exposant négatif correspond à un inverse : 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ. Ainsi 10⁻³ = 0,001. Le résultat reste positif ; le signe de l’exposant ne devient pas le signe du nombre.
10³ = 1 000 ; 10⁰ = 1 ; 10⁻³ = 0,001.
2Multiplier et diviser
Quand on multiplie deux puissances de dix, on additionne leurs exposants. Dans un quotient, on soustrait l’exposant du dénominateur à celui du numérateur. Ces règles se comprennent en regroupant ou en simplifiant les facteurs 10.
La puissance d’une puissance multiplie les exposants : (10²)³ = 10⁶. En revanche, aucune de ces règles ne permet d’additionner simplement les exposants dans une somme de puissances.
10ᵃ × 10ᵇ = 10ᵃ⁺ᵇ ; 10ᵃ ÷ 10ᵇ = 10ᵃ⁻ᵇ.
3La notation scientifique
Un nombre strictement positif en notation scientifique s’écrit a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 et n entier. Cette contrainte rend l’écriture comparable d’un nombre à l’autre.
Pour 45 000, on choisit 4,5 puis on multiplie par 10⁴. Pour 0,0062, on choisit 6,2 puis 10⁻³. Vérifie en revenant à l’écriture décimale. Pour comparer deux nombres positifs normalisés, compare les exposants, puis les coefficients si les exposants sont égaux.
Suivre le raisonnement
Un calcul de puissances
Simplifie (10⁵ × 10⁻²) ÷ 10⁴.
- Au numérateur : 10⁵ × 10⁻² = 10³.
- Puis 10³ ÷ 10⁴ = 10⁻¹.
- 10⁻¹ = 0,1 permet de contrôler le résultat.
Conclusion : Le résultat est 10⁻¹, soit 0,1.
Une petite mesure
Écris 0,000072 m en notation scientifique.
- Le coefficient doit être entre 1 inclus et 10 exclu : on choisit 7,2.
- Pour retrouver 0,000072, on multiplie 7,2 par 0,00001 = 10⁻⁵.
Conclusion : 0,000072 m = 7,2 × 10⁻⁵ m.
À toi de rédiger
Prends une feuille, écris tes étapes, puis compare avec la correction. Ces exercices se corrigent avec la solution ; le quiz en dessous permet d’enregistrer ton résultat.
Écris 8 300 000 en notation scientifique.
Calcule (3 × 10⁴) × (2 × 10⁻²) et donne la notation scientifique.
Avant de passer au quiz
- Un exposant négatif indique un inverse.
- Produit : addition des exposants ; quotient : soustraction.
- En notation scientifique positive, 1 ≤ a < 10.
Un pas de plus pour comprendre.
Question 1 sur 3